Question

有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.

（1）证明：RP=RQ；

（2）请探究下列变化：

A、变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ.证明：RQ为⊙O的切线.

　　

B、变化二：运动探求. ①如图2，若OA向上平移，变化一中结论还成立吗？(只交待判断) 答：_________.

②如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？

Answer

（1）证明见解析；

（2）变化一：证明见解析；变化二：①结论成立；②结论成立，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）首先连接OQ，由切线的性质，可得∠OQB+∠BQR=90°，又由OA⊥OB，可得∠OPB+∠B=90°，继而可证得∠PQR=∠BPO=∠RPQ，则可证得RP=RQ，

（2）A、变化一，连接OQ， 证明∠OQR=90°即可；

B、变化二：① 若OA向上平移，变化一中的结论还成立，证明思路同变化一；

②如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立，连接OQ，证明思路同（1）；

试题解析：（1）连接OQ，

∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP，

又∵QR为⊙O的切线，

∴OQ⊥QR，

即∠OQP+∠PQR=90°，

而∠OBP+∠OPB=90°，

故∠PQR=∠OPB，

又∵∠OPB与∠QPR为对顶角，

∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR

∴RP=RQ；

变化一、连接OQ，

∵RP=RQ，

∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠OQB+∠PQR=90°，

即∠OQR=90°，

∴RQ为⊙O的切线；

变化二、(1)结论成立 ，

连接OQ，

∵RP=RQ，

∴∠PQR=∠QPR=∠BPM，

又∵OB=OQ，RP⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPM=90°，

∴∠OQB+∠PQR=90°，

即∠OQR=90°，

∴RQ为⊙O的切线；

(2)结论成立，

连接OQ，

∵RQ是⊙O的切线，

∴OQ⊥QR，

∴∠OQB+∠PQR=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠OPB+∠B=90°，

又∵OB=OQ，

∴∠OQB=∠B，

∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ，

∴RP=RQ．

【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及垂直的定义，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键．