Question

如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．

(1)求证：OF∥BD；

(2)若点F为线段OC的中点，且⊙O的半径R＝6 cm，求图中阴影部分(弓形)的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）S阴影＝ (6π－9)(cm2)．

【解析】试题分析：（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD；

（2）根据S阴=S扇形AOC﹣S△AOC，进行求解即可.

试题解析：（1）∵OC为半径，点C为的中点，∴OC⊥AD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，

即BD⊥AD，∴OF∥BD；

（2）∵FC＝FO，OC⊥AD，∴AC＝AO，

又∵AO＝CO，

∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，

又∵OA＝6 cm，∴△AOC的高为3 cm，

∴S阴影＝ ＝(6π－9)(cm2)，

即图中阴影部分的面积为(6π－9)cm2.