Question

已知△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x² (2k+3)x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边的长为5．

（1）当k为何值时，△ABC是直角三角形？

（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长．

Answer

（1）当k=2和k=11时，△ABC是直角三角形；

（2）当k=3和4时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长分别是14和16.

【解析】试题分析：（1）根据题意得出AB、AC的长，再由根与系数的关系得出k的值；

（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．

试题解析: （1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，

∴AB2+AC2=25，

∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，

∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，

∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，

即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，

解得k=2或-5（不合题意舍去）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；

∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，

∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0

解得k不存在；

当AB=BC时，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4，

∴AC=4或6

∴△ABC的周长为14或16．

考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．勾股定理的逆定理．