Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer

（1）证明见解析，AF=5cm；（2）t=秒．

【解析】试题分析：（1）根据全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出AF=CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵AC的垂直平分线EF，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形．

∴AF=FC，

设AF=xcm，

则CF=xcm，BF=（8﹣x）cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴在Rt△ABF中，

由勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，即AF=5cm；

（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得t=．

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒．

考点：四边形综合题．