Question

用两个全等的等边△ＡＢＣ和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在AB、AC上，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

(1)如图1，当三角尺的两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论。

(2)如图2，当三角尺的两边与BC、CD的延长线分别交于E、F时，你在（1）中的结论还成立吗？请说明理由。

Answer

（1）BE=CF;（2）结论仍成立

【解析】试题分析：（1）利用公共角和菱形的性质得到边和角相等，利用ASA证明△ABE△ACF,BE=CF. (2) 根据（1）的证明方法，证明△ACE和△ADF全等, BE=CF.

试题解析：

【解析】
（1）BE=CF,
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF,
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∴△ABE△ACF（ASA）．
∴BE=CF,
（2）BE=CF仍然成立．
证明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠BCA=∠ACD=60°，
∴∠FCE=60°，

∴∠ACE=120°，

∵∠ADC=60°，
∴∠ADF=120°，
在△ACE和△ADF中，
,
∴△ACE△ADF，
∴CE=DF，
∴BE=CF.

点睛：1.证明三角形全等的方法：

（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS).
（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) .
（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS). 
（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) .

注:S是边的英文缩写,A是角的英文缩写 ，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA不能证明三角形的全等.

2.利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.

3.本题也利用了公共角的技巧：D、E是△ABC中BC边上的点，AD=AE，∠DAC=∠EAB,AB=AC，说明△ABD≌△ACE.

由图可知，∠DAC=∠EAB,∠1+∠DAE=∠2+∠DAE, ∠1 =∠2,再根据SAS可以证明两个三角形全等.

4.本题是探索性问题，所以每一问，虽然难度层层递进，但核心解题原理都是一致的，所以此类题需要找到每一问联系的的纽带.