Question

某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为：

(1)若企业销售该产品获得的利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；

(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?

(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．

Answer

（1）年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式为；

（2）当该产品的售价定为50元／件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；

（3）要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.

【解析】（1）根据：年利润=（售价﹣成本）×年销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；

（2）将（1）中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案；

（3）根据题意知W≥750，可列关于x的不等式，求解可得x的范围．

【解析】
(1)

(2)由(1)知，当40≤x＜60时， ．

∵-2<0，∴当x=50时,W有最大值800．

当60≤x≤70时， .

∵-1＜0， ∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小.

∴当x=60时，W有最大值600．

∴当该产品的售价定为50元／件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元．

(3)当40≤x＜60时，令W=750，得

-2(x-50)2+800=750,解之，得

由函数的性质可知，

当45≤x≤55时，W≥750．

当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.

所以，要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.

“点睛”本题主要考查二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键.