Question

以△ABC的AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF，连接DC、BF:

(1)CD与BF相等吗？请说明理由；

(2)CD与BF互相垂直吗？请说明理由；

(3)利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的？

Answer

（1）CD=BF，理由见解析；

（2）CD⊥BF理由见解析；

（3）△ADC可看成由△ABF绕点A旋转90°角得到的.

【解析】试题分析：(1)CD=BF，可以通过证明△ADC≌△ABF得到；

(2)CD⊥BF，由△ADC≌△ABF得到∠ADC=∠ABF，AB和CD相交的对顶角相等；

(3)△ADC可看成由△ABF绕点A旋转90°角得到的.

试题解析：（1）DC=BF，理由如下：

在正方形ADEB中，AD=AB，∠DAB=90°，

又在正方形ACGF中，AF=AC，∠FAC=90°，

∴∠DAB=∠FAC=90°，

∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠FAB=∠FAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠FAB，

∴△DAC≌△FAB，

∴DC=FB．

（2）BF⊥CD，理由如下：

∵△ABF≌△ADC，

∴∠AFN=∠ACD，

又∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF=90°，∠ANF=∠CNM，

∴∠ACD+∠CNM=90°，

∴∠NMC=90°，

∴BF⊥CD；

（3）根据正方形的性质可得：AD=AB，AC=AF，

∠DAB=∠CAF=90°，

∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，

∴△DAC≌△BAF（SAS），

故△ADC可看作△ABF绕A点逆时针旋转90°得到．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转等，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．