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问题提出 如图①,、是⊙的两条弦, , 是的中点, ,垂足为. 求证: . 小敏...

问题提出

如图①是⊙的两条弦, 的中点, ,垂足为

求证:

   

小敏在解答此题时,利用了补短法进行证明,她的方法如下:

如图②,延长,使,连接

(请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.)

推广运用

如图③,等边内接于⊙ 上一点, ,垂足为,则的周长是__________

拓展研究

如图④,若将问题提出中的的中点改成的中点其余条件不变,这一结论还成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,写出三者之间存在的关系并说明理由.

 

【解析】试题分析:问题提出:首先证明△EAM≌△BAM(SAS),进而得出ME=MC,再利用等腰三角形的性质得出ED=CD,即可得出答案; 推广运用:首先证明△ABF≌ACD(SAS),进而得出AF=AD,以及CD+DE=BE,进而求出DE的长即可得出答案; 拓展研究:连接EA,EF,ED,EB交AC于N,根据已知条件得到∠BEM=∠CEM,根据全等三角形的性质得到CD=ND,∠ECD=∠END,根据等腰三角形的判定得到AN=AB,于是得到结论. 试题解析:问题提出:证明:如图2,延长CA至E,使AE=AB,连接MA、MB、MC、ME、BC, ∵M是的中点, ∴MB=MC,∠MBC=∠MCB, ∵∠MAB=180°-∠MCB, ∵∠EAM=180°-∠CAM=180°-∠MBC, ∴∠EAM=∠BAM, 在△EAM和△BAM中 ∵, ∴△EAM≌△BAM(SAS), ∴ME=MC, 又∵MD⊥AC, ∴ED=CD, ∴DC=AD+AE=BA+AD; 推广运用:【解析】 如图3,截取BF=CD,连接AF,AD,CD, 由题意可得:AB=AC,∠ABF=∠ACD, 在△ABF和△ACD中 ∵, ∴△ABF≌ACD(SAS), ∴AF=AD, ∵AE⊥BD, ∴FE=DE,则CD+DE=BE, ∵∠ABD=45°, ∴BE==, 则△BDC的周长是1+; 拓展研究:不成立,CD、BA、AD三者之间的关系:AD=BA+CD, 证明:连接EA,EF,ED,EB交AC于N, ∵M是的中点, ∴∠BEM=∠CEM, 在△EDN和△EDC中, , ∴CD=ND,∠ECD=∠END, ∵∠ECD=∠ABE,∠ENC=∠ANB, ∴∠ANB=∠ABE, ∴AN=AB, ∴AD=AN+∠ND=BA+CD.  
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考点分析:
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如图,在中, 为边的中点. 上一点,⊙相切于点,且与分别相交于点.连接于点

   

)求证:

)已知 .当是⊙的直径时,求的长.

 

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如图,在中, .点从点出发沿边向点的速度移动,与此同时,点从点出发沿边向点的速度移动.当点到达点时,点停止移动.

)几秒钟后,

)几秒钟后,

 

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如图, 是⊙的直径延长线上一点,点在⊙上,

)求证:直线与⊙相切.

)若,求图中阴影部分的面积.

 

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年巴西里约奥运会期间,南京某奥运特许经营商店以每件元的价格购进了一批奥运纪念恤,定价为元时,平均每天可售出件,为了扩大销售,增加盈利,此奥运特许经营商店决定采取适当的降价措施,经调查发现,在一定范围内,奥运纪念恤的单价每降元,每天可多售出件.当这种奥运纪念恤每件的价格定为多少元时,商店每天获利元?

 

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是⊙的内接三角形, 的半径为 的距离为

)求的长;

的度数为__________

 

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