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如图,在平面直角坐标系中,点A,C分别在x轴,y轴上,四边形ABCO为矩形,AB...

如图,在平面直角坐标系中,点AC分别在x轴,y轴上,四边形ABCO为矩形,AB=16AC=20,D与点A关于y轴对称,点EF分别是线段ADAC上的动点(点E不与点AD重合),且∠CEF=ACB.

1)直接写出BC的长是      D的坐标是      

2)证明:AEFDCE相似;

3)当EFC为等腰三角形时,求点E的坐标

 

(1) A(-12,0),D(12,0);(2)证明见解析;(3)点E的坐标为(8,0)或( ,0). 【解析】试题分析:(1)利用矩形的性质,在中,利用三角函数求出的长度,从而得到点坐标;由点与点关于轴对称,进而得到点的坐标; (2)欲证△AEF与△DCE相似,只需要证明两个对应角相等即可.如图①,在△AEF与△DCE中,易知从而问题解决; (3)当为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论: ①当时,此时△AEF与△DCE相似比为1,则有 ②当时,此时△AEF与△DCE相似比为,则有 ③当时, 点与点重合,这与已知条件矛盾,故此种情况不存在. 试题解析:(1)由题意 ∵四边形ABCO为矩形,AB=16, ∴A点坐标为(−12,0), ∵点D与点A关于y轴对称, ∴D(12,0).   (2)点D与点A关于y轴对称,∴∠CDE=∠CAO, ∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO, ∴∠CDE=∠CEF, 又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性质) ∴∠AEF=∠DCE. 则在△AEF与△DCE中,∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE, ∴△AEF∽△DCE. (3)当△EFC为等腰三角形时,有以下三种情况: ①当CE=EF时, ∵△AEF∽△DCE, ∴AE=CD=20, ∴OE=AE−OA=20−12=8, ∴E(8,0); ②当EF=FC时,如图②所示,过点F作FM⊥CE于M,则点M为CE中点, ∵△AEF∽△DCE, 即解得 ③当CE=CF时,则有∠CFE=∠CEF, ∵∠CEF=∠ACB=∠CAO, ∴∠CFE=∠CAO,即此时点与点重合,这与已知条件矛盾. 综上所述,当△EFC为等腰三角形时,点E的坐标为(8,0)或  
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4)动点P0m)在y轴上运动,当的值最大时,求点P的坐标.

 

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