Question

如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）由条件可先证四边形为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论；
（2）由菱形的性质可求得设在和中，分别利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的长．

试题解析：∵O为AC中点，EF⊥AC，

∴EF为AC的垂直平分线，

∴EA=EC，FA=FC，

∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA.

∴∠EAC=∠FCA，

∴∠FAC=∠ECA，

∴四边形AFCE平行四边形。

又∵EA=EC，

∴平行四边形AFCE是菱形。

(2)∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，

∴OE=3，OA=4，

∴AE=CF=5，

设BF=x，

在中, 在中,

解得