Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为_____．

Answer

1或2

【解析】试题分析：根据题意得：∠EFB＝∠B＝30°，DF＝BD，EF＝EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED＝90°－∠EFD＝60°，∠BEF＝2∠FED＝120°，

∴∠AEF＝180°－∠BEF＝60°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，

∴AC＝AB，∠BAC＝60°，

设AC＝x，则AB＝2x，

由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，

∴x2＋32＝(2x)2

解得x＝．

如图①若∠AFE＝90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠EFD＋∠AFC＝∠FAC＋∠AFC＝90°，

∴∠FAC＝∠EFD＝30°，

∴CF＝AF，

设CF＝y，则AF＝2y，

由勾股定理得CF2＋AC2＝AF2，

∴y2＋()2＝(2y)2

解得y＝1，

∴BD＝DF＝ (BC−CF)＝1；

如图②若∠EAF＝90°，

则∠FAC＝90°－∠BAC＝30°，

同上可得CF＝1，

∴BD＝DF＝ (BC＋CF)＝2，

∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．

故答案为：1或2．

点睛：此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及勾股定理的知识．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．