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如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠...

如图,在ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=B.

(1)求证:AC·CD=CP·BP;

(2)AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.

 

(1)证明见解析;(2)BP=. 【解析】(2)易证∠APD=∠B=∠C,从而可证到△ABP∽△PCD,即可得到,即AB•CD=CP•BP,由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP; (2)由PD∥AB可得∠APD=∠BAP,即可得到∠BAP=∠C,从而可证到△BAP∽△BCA,然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长. 【解析】 (1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠B=∠C. ∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC, ∴∠BAP=∠DPC, ∴△ABP∽△PCD, ∴, ∴AB•CD=CP•BP. ∵AB=AC, ∴AC•CD=CP•BP; (2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP. ∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C. ∵∠B=∠B, ∴△BAP∽△BCA, ∴. ∵AB=10,BC=12, ∴, ∴BP=. “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识,把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第(1)小题的关键,证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第(2)小题的关键.  
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