Question

已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图①）或线段AB的延长线（如图②）于点P.

（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.

Answer

（1）详见解析；（2）当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.

【解析】试题分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．

试题解析：（1）∵PQ⊥AQ，

∴∠AQP=90°=∠ABC，

在△APQ与△ABC中，

∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC．

（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠QPB为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，

（I）当点P在线段AB上时，如图1所示．

∵∠QPB为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴，即，解得：PB=，

∴AP=AB-PB=3-=；

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．

∵∠QBP为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，点B为线段AP中点，

∴AP=2AB=2×3=6．

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．直角三角形斜边上的中线；4．勾股定理．