Question

如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，直线l经过点C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC＝　　　　.

Answer

6.4或10

【解析】分类讨论：（1）当∠PCA=90°时，不成立；

（2）∵Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB=10，

当∠APC=90°时，

∵∠PCA=∠CAB,∠APC=∠ACB,

∴△CPA∽△ACB,

∴=,

∴=，

∴PC=6.4．

（3）当∠CAP=90°时，

∵∠ACB=∠CAP=90°，∠PCA=∠CAB，

∴△PCA∽△BAC，

∴=，

∴PC=AB=10．

故答案为：6.4或10．

点睛：（1）求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形，根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应分类讨论；

（2）或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；

（3）若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式表示各边的长度，之后利用相似列方程求解．