Question

如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G，求证：

(1)G是CE的中点．

(2)∠B＝2∠BCE.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】试题分析：

（1）如图，连接DE，由AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线可证DE=AB=BE，结合DC=BE可得DE=DC，由此可得△DEC是等腰三角形，由DG⊥CE可得G为CE的中点；

（2）由（1）的证明可知DE=DC，BE=DE，由此可得∠B=∠EDB，∠DEC=∠DCE，再由∠EDB=∠DEC+∠DCE可得结论.

试题解析：

(1)如图，连结DE.

∵AD是高线，

∴△ABD是直角三角形．

∵CE是AB边上的中线，

∴DE是Rt△ABD斜边上的中线．

∴DE＝BE.

∵DC＝BE，

∴DE＝DC.

又∵DG⊥CE，

∴CG＝EG，即G是CE的中点．

(2)∵DE＝BE，

∴∠B＝∠BDE.

∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠BCE.

∵∠BDE是△DCE的一个外角，

∴∠BDE＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE.

∴∠B＝2∠BCE.