Question

如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结论正确的个数是（）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】试题分析：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵AB=AC，

∴AB=BC=AC，

即△ABC是等边三角形，

同理：△ADC是等边三角形

∴∠B=∠EAC=60°，

在△ABF和△CAE中，

，

∴△ABF≌△CAE（SAS）；

故①正确；

∴∠BAF=∠ACE，

∵∠AEH=∠B+∠BCE，

∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°

故②正确；

∵∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC，

∴△AEH∽△CEA，

故③正确；

在菱形ABCD中，AD=AB，

∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，

∴△AEH∽△ABF，

∴，

∴，

∴AE•AD=AH•AF，

故④正确，

故选D．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质．