Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F

（1）求∠ABE的度数；

（2）用这个扇形AFED围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径是多少？

Answer

（1）45°；（2）0.75.

【解析】连接AE，因为BC为圆A的切线，所以AE垂直于BC，所以三角形ABE为直角三角形，所以三角形ABE为等腰直角三角形，所以∠BAE为45°，因为∠AEB为直角，且AD平行于BC，所以∠DAE等于∠AEB等于90°，所以圆心角BAD等于45+90等于135°，弧FED的长等于乘以2π乘以2，等于1.5π，而扇形DAF为圆锥的侧面，所以弧长为圆锥的底面圆的周长，所以半径等于周长除以2π，所以半径等于0.75．

【解析】
（1）连接AE，如图1，

∵AD为半径的圆与BC相切于点E，

∴AE⊥BC，AE=AD=2．在Rt△AEB中，∵AB=2, AE =2,由勾股定理得AE=BE，

∴∠ABE=45°．
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
∴∠BAD45°+90°=135°，

∴扇形A-BFE的弧长==.

设所得圆锥的底半径是r，

则2πr=，

∴r=0.75.

即：所得圆锥的底面半径是0.75.

“点睛”此题考查了切线的性质、直角三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．