Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer

（1）二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形，P点的坐标为（， ）；（3）P点的坐标为（， ），四边形ABPC面积的最大值为.

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；

（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

试题解析：（1）将B、C两点的坐标代入得 ，解得 ，

所以二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）如图，存在点P，使四边形POP′C为菱形．

设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，

若四边形POPC是菱形，则有PC=PO，

连接PP则PE⊥CO于E，

∴OE=CE=，

∴y=，

∴-x2+2x+3=，

解得x1=，x2=（不合题意，舍去），

∴P点的坐标为（， ）；

（3）如图1，

，

过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直线BC的解析式为y=﹣x+3．

则Q点的坐标为（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF=×4×3+（﹣x2+3x）×3=﹣（x﹣）2+，

当x=时，四边形ABPC的面积最大，

此时P点的坐标为（， ），四边形ABPC面积的最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的纵坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．