Question

在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4）．延长CB交x轴于点A₁，作第二个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第三个正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（　　）

A. 20×（）⁴⁰³⁰    B. 20×（）⁴⁰³²    C. 20×（）²⁰¹⁶    D. 20×（）²⁰¹⁵

Answer

A

【解析】∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），∴OA=2，OD=4，

∵∠AOD=90°，∴AB=AD= =2，∠ODA+∠OAD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=（2）2=20，

∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，∴∠ODA=∠BAA1，

∴△ABA1∽△DOA，∴ ，即，∴BA1=，∴CA1=，

∴正方形A1B1C1C的面积==20×…，第n个正方形的面积为20×，

∴第2016个正方形的面积20×（）4030 ，

故选A．

【点睛】本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积得出规律是解决问题的关键．