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已知矩形ABCD的一条边AD=8,E是BC边上的一点,将矩形ABCD沿折痕AE折...

已知矩形ABCD的一条边AD=8EBC边上的一点,将矩形ABCD沿折痕AE折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,PC=4(如图1).

1)求AB的长;

2)擦去折痕AE,连结PB,设M是线段PA的一个动点(点M与点PA不重合).NAB沿长线上的一个动点,并且满足PM=BN.过点MMH⊥PB,垂足为H,连结MNPB于点F(如图2).

MPA的中点,求MH的长;

试问当点MN在移动过程中,线段FH的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段FH的长度.

 

(1)10;(2); . 【解析】试题分析:(1)设AB=x,根据折叠可得AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4,利用勾股定理,在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即82+(x-4)2=x2,即可解答; (2)①过点A作AG⊥PB于点G,根据勾股定理求出PB的长,由AP=AB,所以PG=BG=PB=,在Rt△AGP中,AG=, 由AG⊥PB,MH⊥PB,所以MH∥AG,根据M是PA的中点,所以H是PG的中点,根据中位线的性质得到MH=AG=. ②作MQ∥AN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据MH⊥PQ,得出HQ=PQ,根据∠QMF=∠BNF,证出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,最后代入HF=PB即可得出线段EF的长度不变. 试题解析:(1)设AB=x,则AP=CD=x,DP=CD-CP=x-4, 在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2, 即82+(x-4)2=x2, 解得:x=10, 即AB=10. (2)①如图2,过点A作AG⊥PB于点G, 由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°, ∴PB=, ∵AP=AB, ∴PG=BG=PB=, 在Rt△AGP中,AG=, ∵AG⊥PB,MH⊥PB, ∴MH∥AG, ∵M是PA的中点, ∴H是PG的中点, ∴MH=AG=. ②当点M、N在移动过程中,线段FH的长度是不发生变化; 作MQ∥AN,交PB于点Q,如图3, ∵AP=AB,MQ∥AN, ∴∠APB=∠ABP=∠MQP. ∴MP=MQ, ∵BN=PM, ∴BN=QM. ∵MP=MQ,MH⊥PQ, ∴EQ=PQ. ∵MQ∥AN, ∴∠QMF=∠BNF, 在△MFQ和△NFB中, , ∴△MFQ≌△NFB(AAS). ∴QF=QB, ∴HF=HQ+QF=PQ+QB=PB=. ∴当点M、N在移动过程中,线段FH的长度是不发生变化,长度为. 考点:四边形综合题.  
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考点分析:
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1)求证:OE=OF

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