Question

已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为　＿＿    　。

Answer

【解析】把A、B两点横坐标分别代入解析式，求出纵坐标，又因为△AOB是直角三角形，可以利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，便可利用勾股定理求出各边长，进而得出△OAB的周长．

【解析】
如图所示：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，作AC⊥BE于C．

将x=-1、x=2分别代入解析式得，yA=a，yB=4a．

于是BC=4a-a=3a，AC=2-（-1）=3，

所以AB2=（3a）2+32=9a2+9，

又因为在Rt△ADO中，AO2=a2+1，

在Rt△BOE中，OB2=22+（4a）2

当∠AOB=90°时，根据勾股定理，AB2=AO2+BO2

即9a2+9=a2+1+22+（4a）2，解得a=（负值不合题意舍去），

于是AO2=+1=，AO=，

OB2=22+8=12，OB=2，

AB2=AO2+BO2=+12=，AB=，

△OAB的周长为AO+OB+AB=+2+=2+2，

当∠OAB=90°时，AB2+AO2=BO2，即9a2+9+a2+1=22+（4a）2，解得a=1，

于是OA=，OB=2，AB=3，

△OAB的周长为AO+OB+AB=4+2；

当∠OBA=90°时，AB2=AO2-BO2，即9a2+9=a2+1-[22+（4a）2]，无解；

∴△OAB的周长为2+2或4+2．

解答此题的关键是作出辅助线，利用勾股定理建立起关于参数a的关系式，再求出各边长，将它们相加即可求出周长．