Question

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．
（1）直接写出线段AD及⊙O半径的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．

Answer

（1）r=1； AD=3

（2）y与x的函数关系式是y=x+4（0≤x≤2.4）； y=x-4（x＞2.4）

（3）y=或y=1

【解析】（1）⊙O的半径r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1；
AD=3

（2）①如图，若点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，∵∠A=∠A，∴△AHP∽△ACB，

∴
∴即y与x的函数关系式是y=x+4（0≤x≤2.4）；

②同理，当点P在线段AC的延长线上时，△AHP∽△ACB，
∴y=x-4，即y与x的函数关系式是y=x-4（x＞2.4）

（3）①当点P在线段AC上时，如图，P′H′与⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=x+4，解得，y=．（8分）
②当点P在AC的延长线上时，如图，P″H″与⊙O相切．此时y=1（10分）