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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.动点P从点A开始沿折线...

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动,点P在AC,CB,BA边上运动的速度分别为每秒3,4,5个单位.直线l从与AC重合的位置开始,以每秒个单位的速度沿CB方向移动,移动过程中保持l∥AC,且分别与CB,AB边交于E,F两点,点P与直线l同时出发,设运动的时间为t秒,当点P第一次回到点A时,点P和直线l同时停止运动.

(1)当t=5秒时,点P走过的路径长为_________;当t=_________秒时,点P与点E重合;

(2)当点P在AC边上运动时,连结PE,并过点E作AB的垂线,垂足为H. 若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似,试求线段EH的值;

(3)当点P在折线AC-CB-BA上运动时,作点P关于直线EF的对称点Q.在运动过程中,若形成的四边形PEQF为菱形,求t的值.

 

(1)19;3 ;(2)EH=或;(3)满足要求的t值为t=, 【解析】(1)19;3 (2)注意到△EFH为直角边3:4的直角三角形,若△CPE与之相似,也应如此. 而CP=6-3t,CE=t,分别令CP:CE=3:4或4:3,解得t=或 当t=时,EH=;当t=时,EH= (3)当点P在AC上运动时,若四边形PEQF为菱形,连结PQ,则PQ垂直平分EF. 故有EF=2CP,于是 (8-t)=2(6-3t),解得t=<2,符合 当点 P在CB上运动时,显然不构成四边形. 当点 P在BA上运动时,若四边形PEQF为菱形,有4<t<,且PE=PF. 在Rt△BEF中,可知P为BF的中点,故有BF=2BP,于是 (8-t)=2×5(t-4), 解得t=,也符合 综上所述,满足要求的t值有两个,t=,  
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阅读理【解析】

我们知道,四边形具有不稳定性,容易变形,如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形,设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α,我们把的值叫做这个平行四边形的变形度.

1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度,则这个平行四边形的变形是         

猜想证明:

2)设矩形的面积为S1,其变形后的平行四边形面积为S2,试猜想S1S2 之间的数量关系,并说明理由;

拓展探究:

3)如图2,在矩形ABCD中,EAD边上的一点,且AB2=AE•AD,这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1E1E的对应点,连接B1E1B1D1,若矩形ABCD的面积为4  m0),平行四边形A1B1C1D1的面积为2m0),试求∠A1E1B1+A1D1B1的度数.

 

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阅读:如图1,在ABC中,BE是AC边上的中线, DBC边上的一点,CD:BD=1:2,AD与BE相交于点P,求的值小昊发现,过点A作AFBC,交BE的延长线于点F,通过构造AEF,经过推理和计算能够使问题得到解决如图2).

(1)的值为        

(2)参考小昊思考问题的方法,解决问题:

如图3,在ABC中,ACB=90°,点D在BC的延长线上,AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,DC:BC:AC=1:2:3

的值;

若CD=2,求BP的长

 

 

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对于一个三角形,设其三个内角的度数分别为,若满足,我们定义这个三角形为美好三角形.

(1)△中,若 ,则△       (填“是”或“不是” )美好三角形;

(2)如图,锐角△是⊙O的内接三角形, , ⊙O的直径是, 求证:△是美好三角形;

(3)当△ABC是美好三角形,且,则∠C为           .

 

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某日孙老师佩戴运动手环进行快走锻炼,两次锻炼后数据如下表.与第一次锻炼相比,孙老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.根据经验已知孙老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率小于0.5.

项目

 

第一次锻炼

 

第二次锻炼

步数(步)

 

10000

 

     

平均步长(米/步)

 

0.6

 

     

距离(米)

 

6000

 

7020

 

注:步数×平均步长=距离.

(1)求孙老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率;

(2)孙老师发现好友中步数排名第一为24000步,因此在两次锻炼结束后又走了500米,使得总步数恰好为24000步,求孙老师这500米的平均步长.

 

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如图,“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直,小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA = 75厘米.展开小桌板使桌面保持水平,此时CB⊥AO,∠AOB =∠ACB = 37°,且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度.求小桌板桌面的宽度BC.(参考数据sin37° ≈ 0.6,cos37°≈ 0.8,tan37° ≈ 0.75)

 

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