Question

阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax⁴＋bx²＋c＝0(a≠0)，一般通过换元法解之，具体解法是设 x²＝y，则原四次方程化为一元二次方程：ay²＋by＋c＝0，解出y之后代入x²＝y，从而求出x的值．

例如【解析】
4x⁴－8x²＋3＝0

【解析】
设x²＝y，则原方程可化为：4y²－8y＋3＝0

∵a＝4，b＝－8，c＝3

∴b²－4ac＝(－8)²－4×4×3＝16＞0

∴y＝＝

∴y₁＝， y₂＝

∴当y₁＝时，x²＝．      ∴x₁＝，x₂＝－；

当y₁＝时，x²＝．       ∴x₃＝，x₄＝－．

小试牛刀：请你解双二次方程：x⁴－2x²－8＝0

归纳提高：

思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是____________(选出所有的正确答案)

①当b²－4ac≥0时，原方程一定有实数根；

②当b²－4ac＜0时，原方程一定没有实数根；

③当b²－4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；

④原方程无实数根时，一定有b²－4ac＜0．

Answer

x1＝－2，x2＝2；②③

【解析】试题分析：先设y=x2，则原方程变形为y2-2y-8=0，运用因式分解法解得y1=-2，y2=4，再把y=-2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．

试题解析：x4-2x2-8=0

设y=x2，则原方程变为：y2-2y-8=0．

分解因式，得（y+2）（y-4）=0，

解得，y1=-2，y2=4，

当y=-2时，x2=-2，x2+2=0，△=0-4×2＜0，此方程无实数解；

当y=4时，x2=4，解得x1=-2，x2=2，

所以原方程的解为x1=-2，x2=2．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断②③；

如：x4+4x2+3=0，虽然△=b2-4ac=16-12=4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）=0，明显，此方程无解；

所以，①④错误，

故答案为②③．

【方法总结】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．