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如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : ...

如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,

(1)试说明△ABC是等腰三角形;

(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),

①若△DMN的边与BC平行,求t的值;

②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

 

(1)证明见试题解析;(2)①t值为5或6;②t值为9或10或. 【解析】试题分析:(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,由勾股定理得:AC=5x,AB=5x,AB=AC,从而得到△ABC是等腰三角形; (2)=40cm2,得到x=2cm,从而得到BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.分两种情况讨论: ①当MN∥BC时,AM=AN;当DN∥BC时,AD=AN,分别求出t的值; ②当点M在BD上,即0≤t<4时,△MDE为钝角三角形,但DM≠DE; 当t=4时,点M运动到点D,不构成三角形; 当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能.DE=DM;ED=EM;MD=ME,分别求出t的值. 试题解析:(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,(x>0)在Rt△ACD中,AC=5x,另AB=5x,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形; (2)=×5x×4x=40cm2,而x>0,∴x=2cm,则BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm. ①当MN∥BC时,AM=AN,即10-t=t,∴t=5; 当DN∥BC时,AD=AN,有 t=6; 故若△DMN的边与BC平行时,t值为5或6; ②当点M在BD上,即0≤t<4时,△MDE为钝角三角形,但DM≠DE; 当t=4时,点M运动到点D,不构成三角形; 当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能. 如果DE=DM,则t-4=5,∴t=9; 如果ED=EM,则点M运动到点A,∴t=10; 如果MD=ME=t-4,则,∴t=. 综上所述,符合要求的t值为9或10或. 考点:1.等腰三角形的判定与性质;2.三角形综合题;3.分类讨论;4.动点型.  
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考点分析:
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如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合.

(1)若DE经过点C,DF交AC于点G,求重叠部分(△DCG)的面积;

(2)合作交流:“希望”小组受问题(1)的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,求重叠部分(△DGH)的面积.

 

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如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;

(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.

 

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中菲黄岩岛争端持续,我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,黄岩岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.

(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;

(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.

 

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如图,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90º,点D为AB边上的一点,

(1)试说明:∠EAC=∠B ;(2)若AD=10,BD=24,求DE的长.

 

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作图题:

(1)如图,在图1所给方格纸中,每个小正方形边长都是1,标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处),请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等.(分割线画成实线.)

(2)如图3,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.  

①在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′;

②请直线L上找到一点P,使得PC + PB的距离之和最小.

 

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