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(满分10分)已知二次函数y=﹣x2+2x+m. (1)如果二次函数的图象与x轴...

(满分10分)已知二次函数y=﹣x2+2x+m

1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;

2)如图,二次函数的图象过点A30),与y轴交于点B,求直线AB与这个二次函数的解析式;

3)在直线AB上方的抛物线上有一动点D,当D与直线AB的距离DE最大时,求点D的坐标,并求DE最大距离是多少?

 

(1) m>-1;(2) 直线AB的解析式为y=-x+3, 抛物线解析式为y=-x2+2x+3;(3) DE的最大值为. 【解析】试题分析:(1)根据抛物线与x轴有两个交点时,△>0,即可得到结论; (2)把点A(3,0)代入y=-x2+2x+m得到-9+6+m=0得到B(0,3),解方程组即可得到结论; (3)过点D作y轴的垂线,垂足为C,再过点A作AG⊥CD,垂足为G,连接BD,AD,得到当DE的值越大时,S△ADB的面积越大,设D(x,y),DC=x,BC=y-3,DG=3-x,AG=y根据图形的面积公式即可得到结论. 试题解析: (1)当抛物线与x轴有两个交点时,△>0,即4+4m>0, ∴m>-1. (2) ∵点A(3,0)在抛物线y=-x2+2x+m上, ∴-9+6+m=0,∴m=3. ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3,且B(0,3). 设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(3,0),B(0,3)代入y=kx+b中,得到 解得,∴直线AB的解析式为y=-x+3. (3)过点D作y轴的垂线,垂足为C,再过点A作AG⊥CD,垂足为G,连接BD,AD. ∵AB为定值,∴当DE的值越大时, 的面积越大. 设D(x,y),DC=x,BC=y-3,DG=3-x,AG=y ∴ ∵∴当时, 将代入y=-x2+2x+3,得到,即D(, ) 又∵,且 ∴. ∴ 答:DE的最大值为. 【点睛】 抛物线与x轴的交点情况与一元二次方程根的情况都是由 的正负性确定的,解决问题时围绕来解决问题. 求有函数图象的函数解析式,一般都是采用待定系数法,根据函数图象提供的信息求出函数的解析式。 利用“数形结合”的思想,按照“解析式—坐标---距离(线段长度)---几何图形性质及应用”的思路思考。  
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