Question

（满分10分）如图，直径为AB的⊙O交的两条直角边BC、CD于点E、F，且，连接BF.

（1）求证CD为⊙O的切线；（2）当CF=1且∠D=30°时，求AD长.

Answer

(1) 证明见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）连接OF，只要证明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解决问题．
（2）连接AF．思想在Rt△BCF中，求出BC，再在Rt△DBC中，求出DB，在Rt△ABF中，求出AB，根据AD=DB-AB即可解决问题．

试题解析：

(1)连接OF.

∵AF=EF ，∴∠CBF=∠FBA.

∵OF=OB，∴∠FBO=∠OFB .

∵点A、O、B三点共线,

∴∠CBF=∠OFB.

∴BC∥OF，∴∠OFC+∠C=180°.

∵∠C=90°，∴∠OFC=90°，即OF⊥DC.

∴CD为⊙O的切线.

(2) ∵∠D=30°，∴∠CBD=60°

∵AF=EF，∴∠CBF=∠DBF=∠CBD=30°

在， ∵FC=1，∠CBF=30°，∴BF=2CF=2.

∴

连接AF.

∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°

在,∵∠ABF=30°，BF=2，∴AF=AB.

∴AB2=(AB)2+BF2，即AB2=4，

在,∵∠D=30°，BC=，∴BD=2BC=.

∴AD=DB-AB=2