Question

如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，EDF=60°，当CE=AF时，如图①小芳同学得出的结论是DE=DF。

（1）继续旋转三角形纸片，当CEAF时，如图②，小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图③，请写出DE与DF的数量关系，并加以证明。

（3）连接EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

Answer

（1）DF=DE．理由见解析；（2）DF=DE．理由见解析；（3），当x=1时，

【解析】（1）DF=DE．理由如下：

如答图1，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF与△BDE中，

，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：
如答图2，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF与△BDE中，

，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）由（2）知，DE=DF，又∵∠EDF=60°，

∴△DEF是等边三角形，

∵四边形ABCD是边长为2的菱形，

∴DH=，

∵BF=CE=x，

∴AF=x-2，

∴FH=AF+AH=x-2+1=x-1，

∴DF=，DG=×，

∴y=S△DEF=×EF×DG=×××=（x-1）2+．

∴当x=1时，y最小值=．

点睛：本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定和性质，菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，对于促进角与角（边与边）相互转化，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键.