Question

如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F.

（1）求证：OE是CD的垂直平分线.

（2）若∠AOB=60º，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论。

Answer

见解析；OE=4EF

【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得ED=EC，结合OE=OE得出△OED和△OEC全等，从而得出OC=OD，根据等腰三角形三线合一定理得出答案；根据OE平分∠AOB以及∠AOB=60°得到∠AOE=∠BOE=30°，从而得到OE=2DE，根据同理得出DE=2EF，从而得到答案．

试题解析：证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA ∴ED=EC ∵OE=OE

∴Rt△OED≌Rt△OEC ∴OC=OD ∵OE平分∠AOB ∴OE是CD的垂直平分线．

（2）OE=4EF

理由如下：∵OE平分∠AOB， ∠AOB=60º ∴∠AOE=∠BOE=30º ∵ED⊥OA ∴OE=2DE

∵∠EFD=90º，∠DEO=90º-∠DOE=90º-30º=60º ∴∠EDF=30º ∴DE=2EF ∴OE=4EF

考点：角平分线的性质