Question

已知如图，矩形OABC的长OA=， 宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC.

（1）求∠PCB的度数；

（2）若P，A两点在抛物线y=x²+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）题（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标.

   

Answer

（1）30°； （2）当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图象上；（3）见解析

【解析】（1）根据OC、OA的长，可求得∠OCA=∠ACP=60°（折叠的性质），∠BCA=∠OAC=30°，由此可判断出∠PCB的度数．
（2）过P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA=OA=3，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AQ、PQ的长，进而可得到点P的坐标，将P、A坐标代入抛物线的解析式中，即可得到b、c的值，从而确定抛物线的解析式，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）根据抛物线的解析式易求得C、D、E点的坐标，然后分两种情况考虑：
①DE是平行四边形的对角线，由于CD∥x轴，且C在y轴上，若过D作直线CE的平行线，那么此直线与x轴的交点即为M点，而N点即为C点，D、E的坐标已经求得，结合平行四边形的性质即可得到点M的坐标，而C点坐标已知，即可得到N点的坐标；
②DE是平行四边形的边，由于A在x轴上，过A作DE的平行线，与y轴的交点即为N点，而M点即为A点；易求得∠DEA的度数，即可得到∠NAO的度数，已知OA的长，通过解直角三角形可求得ON的值，从而确定N点的坐标，而M点与A点重合，其坐标已知；
同理，由于C在y轴上，且CD∥x轴，过C作DE的平行线，也可找到符合条件的M、N点，解法同上．

【解析】
（1）在Rt△OAC中，OA=，OC=1，则∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根据折叠的性质知：OA=AP=，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．

（2）过P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=；

∴OQ=AQ=，PQ=，

所以P（， ）；

将P、A代入抛物线的表达式中，得： ，

解得；

即y=x2+x+1；

当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图象上．

（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，

∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，

把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1）

把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（，0）

∴M（，0）；N点即为C点，坐标是N（0，1）；

②若DE是平行四边形的边，

过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，

∴DE=AN===2，

∴∠EAN=30°，∠DEA=30°，

∴M（，0），N（0，-1）

同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，

∴M（-，0），N（0，1）．

“点睛”此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、平行四边形的判定和性质等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．