Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立.

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.

   ①求证：BD⊥CF； ②当AB=4，AD=时，求线段BG的长.

   

Answer

(1) BD=CF成立,证明见解析；（2）①证明见解析；②FG=.

【解析】试题分析：(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等，直观上判 断BD=CF,而由题目条件，旋转过程中出

现了两个三角形△BAD和△CAF，并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差夹角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC="90°," ∴∠BAD="∠CAF," ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要证明BD⊥CF，只要证明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，题目中没有和FG直接相关的线段，而CG从已知条件中又无法求出，所以需要作辅助线，连接FD，交AC于点N, 在正方形ADEF中，AD=DE=, AN="1," CN=3,由勾股定理CF=，设FG=x，CG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=，∵在Rt△BCG中，，

∴，解之得FG=.

试题解析：②解法一：

如图，连接FD，交AC于点N,

∵在正方形ADEF中，AD=DE=,

∴AN=FN=AE=1，FD=2,

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，

∴在Rt△FCN中，,

∵△BAD≌△CAF（已证），∴BD=CF=,

设FG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=,

∵CF=，∴CG=,

∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，

∴,

∵在Rt△BCG中，,

∴,

整理，得,

解之，得，（不合题意，故舍去）

∴FG=.

解法二：

如图，连接FD，交AC于点N；连接CD,

同解法一，可得：DG=，CG=，

易证△ACD≌△ABD（SAS），可得CD=BD=，

在Rt△CGD中，,即

解之，得,故FG=.

考点：1.三角形的全等；2.勾股定理；3.正方形的性质.