Question

在数学兴趣小组的活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

⑴小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

⑵如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】（1）延长EB交DG于点H，先证出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，﹢根据∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；

（2）过点A作AP⊥BD交BD于点P，根据△DAG≌△BAE得出DG=BE，∠APD=90°，求出AP、DP，利用勾股定理求出PG，﹢根据DG=DP+PG求出DG，最后根据DG=BE即可得出答案.

【解析】
(1)如解图①所示，延长EB交DG于点H.

∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，

∴△ADG≌△ABE(SAS)， ∴∠AGD＝∠AEB.

在△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°，

∴∠AEB＋∠ADG＝90°.

在△EDH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°，

∴∠DHE＝90°，即DG⊥BE

(2)如解图②，连结DG，过点A作AM⊥DG交DG于点M，

∠AMD＝∠AMG＝90°.

∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，

∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，即∠DAG＝∠BAE.

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.

∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝45°.

在Rt△AMD中，∠MDA＝45°，

∵AD＝2，∴DM＝AM＝，

在Rt△AMG中，根据勾股定理得：

GM＝＝.

∵DG＝DM＋GM＝＋，

∴BE＝DG＝＋