Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，．

（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；

（2）求证：△ABE≌△DCE；

（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．

Answer

（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以，则弦相等；（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；

（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长．

本题解析：

（1）【解析】
BE=CE，

理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，

∴∠BCE=∠EAC，

∴，

∴BE=CE；

（2）证明：∵，∴AB=CD，

∵， ，∴AE=ED，

由（1）得：BE=CE，

在△ABE和△DCE中，

∵ ，

∴△ABE≌△DCE（SSS）；

（3）【解析】
如图，∵过O作OG⊥BE于G，OH⊥BC于H，

∴BH=BC=×8=4，BG=BE，

∵BE=CE，∠EBC=∠EAC=60°，

∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC，∴BH=BG，

∵OB=OB，∴Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），

∴∠OBH=∠GBO=∠EBC=30°，

设OH=x，则OB=2x，

由勾股定理得：（2x）2=x2+42，x=，

∴OB=2x=，∴⊙O的半径为．

点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.