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如图,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作x轴的平行线交y轴于点B(0,3...

如图,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作x轴的平行线交y轴于点B(0,3),过点A(5,0)的直线y=kx+b与y轴于点C,且BD=OC,tan∠OAC=

(1)求反比例函数y=和直线y=kx+b的解析式;

(2)连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系,并说明理由;

(3)点E为x轴上点A右侧的一点,且AE=OC,连接BE交直线CA于点M,求∠BMC的度数.

 

(1)y=﹣,y=x﹣2;(2)AC=CD, AC⊥CD,理由见解析;(3)45°. 【解析】分析:(1)由A点坐标可求得OA的长,再利用三角函数的定义可求得OC的长,可求得C、D点坐标,再利用待定系数法可求得直线AC的解析式; (2)由条件可证明△OAC≌△BCD,再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°,可证得AC⊥CD;(3)连接AD,可证得四边形AEBD为平行四边形,可得出△ACD为等腰直角三角形,则可求得答案. 本题解析: (1)∵A(5,0),∴OA=5.∵tan∠OAC=,∴,解得OC=2, ∴C(0,﹣2),∴BD=OC=2,∵B(0,3),BD∥x轴,∴D(﹣2,3), ∴m=﹣2×3=﹣6,∴y=﹣, 设直线AC关系式为y=kx+b,∵过A(5,0),C(0,﹣2), ∴,解得,∴y=x﹣2; (2)∵B(0,3),C(0,﹣2),∴BC=5=OA, 在△OAC和△BCD中 ,∴△OAC≌△BCD(SAS),∴AC=CD, ∴∠OAC=∠BCD,∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°, ∴AC⊥CD; (3)∠BMC=45°. 如图,连接AD, ∵AE=OC,BD=OC,AE=BD,∴BD∥x轴, ∴四边形AEBD为平行四边形, ∴AD∥BM,∴∠BMC=∠DAC, ∵△OAC≌△BCD,∴AC=CD, ∵AC⊥CD,∴△ACD为等腰直角三角形, ∴∠BMC=∠DAC=45°.  
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