Question

如图，抛物线y=﹣ x²+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer

(1) y=﹣ x2+ x+3;(2) y= x+2;(3) 存在,点C的坐标为（1，5 ﹣10）或（1，﹣5 ﹣10）．

【解析】试题分析: （1）根据抛物线的对称轴为x=1可求出m的值，再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n值，此题得解；

（2）根据P、A、B三点共线以及PA：PB=3：1结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式；

（3）假设存在，设出点C的坐标，依照题意画出图形，根据角的计算找出∠DCF=∠EPF，再通过解直角三角形找出关于r的一元一次方程，解方程求出r值，将其代入点C的坐标中即可得出结论．

试题解析:

【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为x=1，

∴﹣ =1，解得：m= ．

将点A（2，3）代入y=﹣ x2+ x+n中，

3=﹣1+1+n，解得：n=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+3．

（2）∵P、A、B三点共线，PA：PB=3：1，且点A、B位于点P的同侧，

∴yA﹣yP=3yB﹣yP，

又∵点P为x轴上的点，点A（2，3），

∴yB=1．

当y=1时，有﹣x2+x+3=1，

解得：x1=﹣2，x2=4（舍去），

∴点B的坐标为（﹣2，1）．

将点A（2，3）、B（﹣2，1）代入y=kx+b中，

，解得： ，

∴一次函数的解析式y= x+2．

（3）假设存在，设点C的坐标为（1，r）．

∵k＞0，

∴直线AP的解析式为y=x+2．

当y=0时， x+2=0，

解得：x=﹣4，

∴点P的坐标为（﹣4，0），

当x=1时，y= ，

∴点D的坐标为（1， ）．

令⊙与直线AP的切点为F，与x轴的切点为E，抛物线的对称轴与直线AP的交点为D，连接CF，如图所示．

∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，

∴∠DCF=∠EPF．

在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF= ，CD= ﹣r，

∴CD= CF= |r|= ﹣r，

解得：r=5 ﹣10或r=﹣5 ﹣10．

故当k＞0时，抛物线的对称轴上存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，点C的坐标为（1，5 ﹣10）或（1，﹣5 ﹣10）．

【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．