Question

如图，在中，，，，在中，，，，

、两点在上，、两边分别与边交于点、．固定不动，从点与点

B重合的位置出发，沿边以每秒个单位的速度向点运动；同时点从点出发，在折线上

以每秒个单位的速度向点运动．当点到达点时，和点同时停止运动．设运动时间为（秒）．

（1）当时，__________，__________．

（2）当为何值时，为等腰三角形？请说明理由．

（3）当为何值时，点与点重合？写出计算过程．

Answer

（），；

（）时，为等腰三角形，明理由见解析；

（）时，点与点重合，计算过程见解析．

【解析】分析：（1）当t=2，得到BF=2，PF=4，根据BF：BC=HF：AC，即可求出HF，从而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG；

（2）根据题意得到PD=PE，则BF=t，PF=2t，DF=8，得到PD=DF-PF=8-2t．在Rt△PEF中，利用勾股定理得到4t²+36=（8-2t）²，解得t= .（3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP=DG．根据正切的定义得到tanB=tanD=，则FH=t，DH=，得到DG=，而DP+DF=2t，于是有2t-8=，即可解得t的值.

本题解析：

（）∵，，∴，∴，，

∴，∴，即，，，∴，

∴当时，∵，又∵，

∴，∴，

∵，∴，∴，

，，

，∴当时，．

（）只有点在边上运动时，才能成为等腰三角形，且．

∵，，，

∴，

在中，，

，

∵ ∴，

即，

∴，

∴当时，为等腰三角形．

（3）设当和点运动的时间是时，点与点重合，

此时，点在上，，

由已知可得：,，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，则此时点在上，

当时，点与点重合．

点睛：本题考查了三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比；也考查了分类讨论思想的运用及勾股定理.