Question

如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；

（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

②若AB=2，CE=2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

Answer

（1）AF= （2）结论：AF= （3）4或2

【解析】试题分析：（1）如图①中，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可得到结论AF=AE；

（2）如图②中，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰三角形即可；

（3）如图③中，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可.

试题解析：（1）AF=

如图2，结论：AF=

理由：连接EF，DF交BC于K，

∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°

∴∠EKF=180°=∠DKE=135°，

∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKG=∠C，∴DK=DC，

∵DF=AB=AC，∴KF=AD，

在△EKF和△EDA中，

∴△EKF≌△EDA

∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE

（3）4或2