Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点为轴负半轴上一点， 于点交轴于点．已知抛物线经过点、、．

（）求抛物线的函数式．

（）连接，点在线段上方的抛物线上，连接、，若和面积满足，求点的坐标．

（）如图， 为中点，设为线段上一点（不含端点），连接．一动点从出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿着线段以每秒个单位的速度运动到后停止．若点在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点的坐标．

Answer

（1）抛物线解析式为；（2）点的坐标为或；（3）此时， ．

【解析】试题分析：（1）先证明△AON∽△COB，利用相似比计算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y=-x2+x+3；

（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，-x2+x+3），则Q（x，-x+3），再计算出DQ=-x2+3x，根据三角形面积公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根据S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；

（3）过做平行轴交抛物线于，过做，可证，由此，过作的垂线，交点即为点，可得值和点坐标．

试题解析：（ ），

，

∴，

且，

∴，

，

， ， ，

∴，

∴．

设抛物线解析式为，

将代入得，

∴抛物线解析式为．

（）设直线的解析式为，

把， 代入得，

解得，

∴直线的解析式为，

作轴交于，如图1，设

，则，

，

∴，

∵，

∴，

整理得，解得， ，

∴点的坐标为或．

（）设运动时间为，则

，

，

过做平行轴交抛物线于，过做，

∵，

∴，

，

∴，

∴，

∴．

过作的垂线，交点即为点，

此时，

．

点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和不等式性质；理解坐标与图形性质，会利用两点之间的距离公式计算线段的长；会用待定系数法求函数解析式；熟练掌握一元二次方程的解法.