Question

如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，且AC平分∠DAB．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AC=8，BD=6，试求点O到AB的距离．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】分析：（1）由平行四边形的对边平行得∠DAC=∠BCA，由角平分线的性质得∠DAC=∠BAC，即可知∠BCA=∠BAC，从而得AB=BC，即可得证；

（2）由菱形的对角线互相垂直且平分得AO=4、BO=3且∠AOB=90°，利用勾股定理得AB=5，根据可得答案．

本题解析：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠BCA=∠BAC，

∴AB=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，且AC=8、BD=6，

∴AO=4、BO=3，且∠AOB=90°，

∴AB=，

设点O到AB的距离为h，

则由S△AOB=×AB•h=×AO×BO，即5h=12，

得h=，

即点O到AB的距离为．

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是见本题的关键.