Question

在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．

（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；

（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．

Answer

(1)；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM＝２，再由勾股定理可求出AC的长；

（２）延长EF到点G，使得FG=EF，证ΔBMD≌ΔANC得AC=BD，再证ΔBFG≌ΔCFE得BG=CE，∠G=∠E,从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.

试题解析：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，

∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，

则CM=BC﹣BM=5﹣2=2，

∴AC=；

（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，

∴△BMD≌△AMC（SAS），

∴AC=BD，

又CE=AC，

因此BD=CE，

由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，

∴△BFG≌△CFE，

故BG=CE，∠G=∠E，

所以BD=BG=CE，

因此∠BDG=∠G=∠E．

考点:1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.