Question

如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．

（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S_{四边形OPMN}=8S_△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) CD=， P（2，﹣1）；(2) y=x2﹣4x+3；(3) 存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．

【解析】试题分析：（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四边形OPMN=8S△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．

试题解析：

（1）如图，连接OC，

∵M（4，0），N（0，3），

∴OM=4，ON=3，

∴MN=5，

∴OC=MN=，

∵CD为抛物线对称轴，

∴OD=MD=2，

在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD==，

∴PD=PC﹣CD=﹣=1，

∴P（2，﹣1）；

（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），

∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，

∵抛物线过N（0，3），

∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，

∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣1=2，

∵ON=3，OM=4，PD=1，

∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，

∴S△QAB=1，

设Q点纵坐标为y，则×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，

当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，

当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，

∵D为AB的中点，

∴AD=BD=QD，

∴△QAB为等腰直角三角形，

∵ON=OB=3，

∴△OBN为等腰直角三角形，

∴△QAB∽△OBN，

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．

考点：二次函数综合题．