Question

如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF,

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.

①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；

②如限定P，Q分别在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）①菱形BFEP的边长为cm.②点E在边AD上移动的最大距离为2cm.

【解析】

试题分析：（1）利用定理:四条边都相等的四边形是菱形，证明四边形BFEP为菱形；

(2)①在直角三角形APE中，根据勾股定理求出EP=

②分两种情况讨论：第一：点Q和点C重合；第二：点P和点A重合

试题解析：（1）∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ

∴点B与点E关于PQ对称

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF

又∵EF∥AB

∴∠BPF=∠EFP

∴∠EPF=∠EFP

∴EP=EF

∴BP=BF=FE=EP

∴四边形BFEP为菱形.

（2）①如图2

∵四边形ABCD是矩形

∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°

∵点B与点E关于PQ对称

∴CE=BC=5cm

在RtΔCDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32

∴DE=4cm

∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm

在RtΔAPE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE

∴EP2=12+（3-EP）2，解得：EP=cm.

∴菱形BFEP的边长为cm.

②当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE=1cm.

当点P与点A重合时，如图3.点E离A点最远，此时，四边形ABQE是正方形.

AE=AB=3cm

∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.

考点：折叠问题，矩形的性质，菱形的性质与判定，分类讨论思想