Question

（本小题满分14分）

如图，直线y＝kx＋b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x²＋2x＋1与y轴交于点C．

（1）求直线y＝kx＋b的解析式；

（2）若点P(x，y)是抛物线y＝－x²＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y＝－x²＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．

Answer

(1) y＝x＋3；（2）P(，)；（3）．

【解析】

试题分析：（1）将A、B两点坐标代入y＝kx＋b中，求出k、b的值；（2）作出点P到直线AB的距离后，由于∠AHC＝90°，考虑构造“K形”相似，得到△MAH、△OBA、△NHP三个三角形两两相似，三边之比都是3∶4∶5．由“”可得，整理可得d关于x的二次函数，配方可求出d的最小值；（3）如果点C关于直线x＝1的对称点C′，根据对称性可知，CE＝C′E．当C′F⊥AB时，CE＋EF最小．

试题解析：

【解析】
（1）∵y＝kx＋b经过A(－4，0)、B(0，3),

∴，解得k＝，b＝3．

∴y＝x＋3．

（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N．

设H(m，m＋3)，则M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．

∵PH⊥AB，∴∠CHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°．

∴∠MAH＝∠CHN，∵∠AMH＝∠CNH＝90°，∴△AMH∽△HNP．

∵MA∥y轴，∴△MAH∽△OBA．∴△OBA∽△NHP．

∴．

∴．

整理得：，所以当x＝，即P(，)．

（3）作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F．过点F作JK∥x轴，，分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J，C′K⊥JK于点K．则C′(2，1)

设F(m，m＋3)

∵C′F⊥AB，∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵CK⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°．

∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K．

∴，∴，解得m＝或－4（不符合题意）．

∴F(，)，∵C′(2，1)，∴FC′＝．

∴CE＋EF的最小值＝C′E＝．