Question

如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴的正半轴上，，且，，反比例函数的图象经过点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若与关于直线对称，一次函数的图象过点，求一次函数的表达式．

Answer

（1）y=（2）y=x﹣

【解析】

试题分析：（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；

（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．

试题解析：（1）过点B作BD⊥OA于点D，

设BD=a，

∵tan∠AOB=，

∴OD=2BD．

∵∠ODB=90°，OB=2 ，

∴a2+（2a）2=（2）2，

解得a=±2（舍去﹣2），

∴a=2．

∴OD=4，

∴B（4，2），

∴k=4×2=8，

∴反比例函数表达式为：y= ；

（2）∵tan∠AOB=，OB=2，

∴AB=OB=，

∴OA===5，

∴A（5，0）．

又△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），

∴OM=2OB，

∴M（8，4）．

把点M、A的坐标分别代入y=mx+n，得 ，

解得，

故一次函数表达式为：y=x﹣．

考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、一次函数图象上点的坐标特征；3、解直角三角形