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在平面直角坐标系中,抛物线过点,,与轴交于点. (1)求抛物线的函数表达式; (...

在平面直角坐标系中,抛物线过点,,与轴交于点.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点在抛物线的对称轴上,求的周长的最小值;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点,使是直角三角形?若存在,直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由.

 

(1)y=﹣x2+x+2(2)△ACD的周长的最小值是2+2(3)存在,点P的坐标为(1,1)或(1,﹣3) 【解析】 试题分析:(1)利用待定系数法求抛物线的函数表达式; (2)由轴对称的最短路径得:因为B与C关于对称轴对称,所以连接AB交对称轴于点D,此时△ACD的周长最小,利用勾股定理求其三边相加即可; (3)存在,当A和C分别为直角顶点时,画出直角三角形,设P(1,y),根据三角形相似列比例式可得P的坐标. 试题解析:(1)把点A(﹣2,0),B(2,2)代入抛物线y=ax2+bx+2中, , 解得: , ∴抛物线函数表达式为:y=﹣x2+x+2; (2)y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+; ∴对称轴是:直线x=1, 如图1,过B作BE⊥x轴于E, ∵C(0,2),B(2,2),对称轴是:x=1, ∴C与B关于x=1对称, ∴CD=BD, 连接AB交对称轴于点D,此时△ACD的周长最小, ∵BE=2,AE=2+2=4,OC=2,OA=2, ∴AB==2, AC==2, ∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2; 答:△ACD的周长的最小值是2+2, (3)存在, 分两种情况: ① 当∠ACP=90°时,△ACP是直角三角形,如图2, 过P作PD⊥y轴于D, 设P(1,y), 则△CGP∽△AOC, ∴, ∴=, ∴CG=1, ∴OG=2﹣1=1, ∴P(1,1); ② 当∠CAP=90°时,△ACP是直角三角形,如图3, 设P(1,y), 则△PEA∽△AOC, ∴ , ∴, ∴PE=3, ∴P(1,﹣3); 综上所述,△ACP是直角三角形时,点P的坐标为(1,1)或(1,﹣3). 考点:二次函数综合题  
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