Question

折纸的思考.

【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形.

第一步，对折矩形纸片（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）.

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，得到.

（1）说明是等边三角形.

【数学思考】

（2）如图④.小明画出了图③的矩形和等边三角形.他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.

（3）已知矩形一边长为3，另一边长为.对于每一个确定的的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围.

【问题解决】

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4和1的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为          .

Answer

（1）是等边三角形（2）答案见解析（3），，；（4）

【解析】

试题分析：（1）由折叠的性质，重合部分的线段，角都相等可判断；

（2）根据旋转的性质和位似变换直接可做图，写出过程；

（3）根据图形，由勾股定理和等边三角形的性质求解；

（4）根据上面的规律，由勾股定理和等边三角形直接可求解.

试题解析：（1）由折叠， ，

因此，是等边三角形.

（2）本题答案不惟一，下列解法供参考.例如，

如图，以点为中心，在矩形中把逆时针方向旋转适当的角度，得到；

再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上，得到.

（3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，

（4）.

考点：1、规律探索，2、矩形的性质，3、正方形的性质，4、等边三角形