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已知如图1,P为正方形ABCD的边BC上任意一点,BE⊥AP于点E,在AP的延长...

已知如图1,P为正方形ABCD的边BC上任意一点,BE⊥AP于点E,在AP的延长线上取点F,使EF=AE,连接BF,∠CBF的平分线交AF于点G.

(1)求证:BF=BC;

(2)求证:△BEG是等腰直角三角形;

(3)如图2,若正方形ABCD的边长为4,连接CG,当P点为BC的中点时,求CG的长.

 

(1)证明见解析;92)证明见解析;(3) 【解析】(1)利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明; (2)想办法证明∠F=∠BAF=∠EBP,由∠EBG=∠EBP+∠PBG,∠EGB=∠F+∠GBF,即可解决问题; (3)求出BG,只要证明△EBP≌△GCP,即可推出CG=BE,由此即可解决问题. 【解析】 (1)证明:∵BE⊥AP,AE=EF, ∴BE垂直平分线段AF, ∴AB=BF, 在正方形ABCD中,AB=BC, ∴BF=BC; (2)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=90°, ∴∠ABE+∠EBP=90°, ∵BE⊥AF, ∴∠ABE+∠BAP=90°, ∴∠BAP=∠EBP, ∵AB=BF∴∠BAP=∠BFP, ∴∠EBP=∠BFP, ∵∠CBF的平分线交AF于点G, ∴∠CBG=∠FBG, ∴∠EBP+∠CBG=∠BFP+∠FBG, ∴∠EBG=∠EGB, ∵BE⊥AF, ∴△BEG是等腰直角三角形. (3)【解析】 ∵P是BC的中点,正方形的边长为4, ∴AB=4,BP=CP=2, ∵在Rt△ABP中, ∴AP=, ∵BE⊥AP, ∴S△ABP=, 解得:BE=, ∵AB=BC,AB=BF, ∴BC=BF, 由(1)可知∠CBG =∠FBG, ∴BG=BG, ∴△CBG≌△FBG, ∴∠BFP=∠BCG, 由(2)可知∠EBP=∠BFP, ∴∠EBP =∠BCG∵∠EPB =∠CPG, ∴△EBP≌△GCP, ∴CG=BE=. “点睛”本题考查正方形到现在、全等三角形的判定和性质、相等的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.  
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考点分析:
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某地为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制,即每月用水量不超过14吨(含14吨)时,每吨按政府补贴优惠价收费;每月超过14吨时,超过部分每吨按市场调节价收费.小英家1月份用水20吨,交水费29元;2月份用水18吨,交水费24元.

1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少?

2)设每月用水量为吨,应交水费为y元,写出y之间的函数关系式;

3)小英家3月份用水24吨,她家应交水费多少元?

 

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(1)求点C的坐标;

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1)请将甲校成绩统计表和图2的统计图补充完整;

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(2)猜想并证明:猜想四边形ABEF的形状,并给予证明.

 

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