Question

在矩形中， ， ，点是边上一点，过点作，交射线于点，交射线于点．

（1）如图1，若，则          ；

（2）当以， ， 为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图2中补全图形并求的长；

（3）过点作∥交射线于点，请探究：当为何值时，以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．

Answer

（1）90°（2） （3）当时，以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形

【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得AD∥BC，∠D=90°，所以∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，进而求得∠FGC=∠FCG，得到FC的长，再利用三角函数求得∠DFC=45°，即可得 ∠CFG=90°； （2）先画出图形，由矩形与等边三角形的性质得到∠DFC=60°，利用三角函数求得FC的长，即为GC的长，再求BG即可； （3）过点F作FK⊥BC于点K，由矩形的性质推出∠KCF=∠KGF，FG=FC，所以GK=CK．因为四边形FHEC是平行四边形，所以FG=EG．可得△FGK≌△EGB．所以BG=GK=KC==4．

试题解析：

（1）90°.

（2）补全图形，如图所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=12，∠D=90°．

∵△是等边三角形，

∴GC=FC ， ．

∵∠2=∠3，

∴∠3=60°

在Rt△CDF中，DC=8 ，

∴．

∴．

∴．

（3）解法一：

过点F作FK⊥BC于点K，如图．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠5=∠ABC=90°，AD//BC．

∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．

∵∠3=∠AFG，

∴∠1=∠2．

∴FG=FC．

∴GK=CK．

∵四边形FHEC是平行四边形，

∴FG=EG．

∵∠2=∠4，∠FKG=∠5=90°，

∴△FGK≌△EGB．

∴．

∴当时，以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．

解法二：如图．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABG=90°，AD//BC．

∴∠1=∠3，∠2=∠AFG．

∵∠3=∠AFG，

∴∠1=∠2．

∴FG=FC．

∵四边形FHEC是平行四边形，

∴CG = HG ,FG=EG,HE=FC．

∴EG=EH．

又∵∠ABG=90°，

∴BG=BH=x．

∴CG=HG=2x．

∴x+2x=12．

∴x=4．

∴当时，以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．

点睛：本题主要考查了矩形与平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰与等边三角形的性质、锐角的三角函数值等，综合性较强．有一定难度．