Question

如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．

（1）求证：BF=CD；

（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°，，求的长．

Answer

（1）证明见解析（2）4

【解析】试题分析：（1）已知四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD∥BC，所以∠F=∠1．再由AF平分∠BAD，可得∠2=∠1．所以∠F=∠2，根据等腰三角形的判定可得AB=BF，即可得BF=CD；（2）先判定△BEF为Rt△，在Rt△BEF即可求解.

试题解析：

（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，

∴ AB=CD，AD∥BC．

∴∠F=∠1．

又∵ AF平分∠BAD，

∴∠2=∠1．

∴∠F=∠2．

∴AB=BF．

∴BF=CD．

（2）【解析】
∵AB=BF，∠F=60°，

∴△ABF为等边三角形．

∵BE⊥AF，∠F=60°，

∴∠BEF=90°，∠3=30°．

在Rt△BEF中，设，则，

∴．

∴．

∴AB=BF=4．