Question

（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：BP=DE且BP⊥DE；

（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．

①若BC=2CE时，求证：BP⊥CF；

②若BC=n•CE（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．

求证：S₁=（n+1）S₂．

Answer

（1）证明见解析； （2）①证明见解析，②证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用SAS即可证明△BCP≌△DCE，再利用全等三角形的性质即可得到结论；

（2）①在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF。

②设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分别求出S1与S2的值，得S1

=（n2﹣1），S2=（n﹣1）．所以S1=（n+1）S2结论成立。

试题解析：（1）延长BP交DE于点M，在△BCP与△DCE中， ，

∴△BCP≌△DCE（SAS）．∴BP=DE，∠CBP=∠CDE,∵∠CDE+∠E=90°，∴∠CBP+∠E=90°即BP⊥DE.

（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，∴∠CPE=45°，∴∠FPD=∠CPE=45°，∴∠PFD=45°，∴FD=DP．

∵BC=2CE，∴CD=2CE=2PC，∴DP=CP，∴FD=CP．

在△BCP与△CDF中，，∴△BCP≌△CDF（SAS）．∴∠FCD=∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC=90°，∴∠FCD+∠BPC=90°，∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．

②设CE=CP=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1．

易知△FDP为等腰直角三角形，

∴FD=DP=n﹣1．

S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP= （BC+FD）•CD﹣BC•CP﹣FD•DP

=（n+n﹣1）•n﹣n×1﹣（n﹣1）2=（n2﹣1）；

S2=DP•CE=（n﹣1）×1=（n﹣1）．

∵n2﹣1=（n+1）（n﹣1），∴S1=（n+1）S2．

点睛：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等，能正确地分析，从图中找到条件并能熟练地应用所学知识是关键.